Optimáticos: Aplicaciones de la geometría analítica para la confección de superficies de lentes oftálimicas

Objetivo: Definir y demostrar las distintas aplicaciones en este caso de las secciones cónicas, en el estudio de la óptica.

Definición: Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. Según la posición del plano secante, en la superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad, lo cual es característica fundamental de lo que en geometría llamamos lugar geométrico.

Introducción y un poco de historia:

Origen de las cónicas

• Menaechmus (siglo IV a.C.): mostró que las cónicas se obtienen al

cortar un cono por planos no paralelos a la base.

• Apollonius de Perga (siglo III a.C.): el primero que las introdujo públicamente, escribiendo “Las Cónicas”, el más importante tratado antiguo sobre las secciones cónicas.

Motivo: buscar soluciones solo con regla y compás de los tres famosos problemas griegos.

• Galileo (siglo XVI): demostró que las trayectorias de los proyectiles son parabolicas.

• Kepler (siglo XVII): rescató las cónicas al encontrar en la elipse la respuesta al enigma del movimiento planetario, descubriendo que el planeta

Marte tiene orbitas elípticas y el sol está situado en uno de sus focos.

• Newton (siglo XVII): enunció la famosa ley de la gravitación universal,

En base a este descubrimiento; así el descubrimiento de Kepler se deduce cómo consecuencia matemática de dicha ley.

-Cuando nos referimos a las cónicas, usualmente pensamos solo en la parte matemática, las ecuaciones y los conceptos de éstas. Sin embargo, desde los tiempos antiguos tenían utilidades prácticas (ya sea medio legendarios como la hazaña de Arquímedes, al destruir naves romanas con un espejo gigante o reales, como la creación de espejos pequeños, importantes más adelante en la óptica)

En la Edad Moderna y Contemporánea, adquirieron mayor relevancia para el ser humano en ámbitos tanto matemáticos como físicos, inclusive llegando más allá, sobrepasando las expectativas que se tenían, como el uso en telecomunicaciones e industria.

Quizá, cuando la tecnología siga avanzando tal como lo hace ahora en el siglo XXI, tendremos que recurrir a las ideas de las cónicas, con propósito de mejorar lo preexistente.

Distintas aplicaciones en la vida real:

Solamente limitaremos a nombrar algunas de las aplicaciones más importantes de las secciones cónicas, para después enfocarnos en lo que realmente nos interesa, el estudio de las propiedades de superficies para la construcción de lentes oftálmicas, que es el objetivo de este post.

Aplicaciones de la elipse: Aparte de su utilidad en la física ,tiene una importancia en la medicina ya que para la desintegración de cálculos renales se utiliza un aparato llamado "litotriptor", usando un reflector elíptico para que concentre las ondas de choque producidas por un generador de ondas en el cálculo. Asimismo, en arquitectura, se construyen techos elipsoidales (llamados comúnmente capilla de los secretos) donde se puede oír a una persona ubicada en un foco desde otro foco y la(s) persona(s) que se encuentre(n) en el medio de los dos, no podrán escuchar nada.

Aplicaciones de la parábola: Su utilidad radica en el interés de converger o divergir haces de luz o de sonido, como por ejemplo las antenas parabólicas, donde un satélite envía información dirigida a la Tierra siendo los rayos perpendiculares a la directriz dependiendo de la distancia a la que se encuentre el satélite. Luego, al reflejarse en el plato de la antena, los rayos convergen en el foco en donde conectado a un receptor decodifica la información. Esta propiedad es aplicada también en las lámparas sordas y faros de automóviles, siendo los rayos de luz perpendiculares a la directriz y reflejados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones), esta propiedad también se aplica a los hornos solares, telescopios y algunos micrófonos utilizados en los deportes.

Aplicaciones de la hipérbola: Comparte propiedades similares a las del elipse, si se dirige un haz de luz dirigida a un foco f se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f`, utilizado en los telescopios de tipo Cassegrain. Además el sistema de navegación Loran (long range navigation, su acrónimo en inglés) utiliza la propiedad de reflexión de la hipérbola (basándose en unas estaciones de radio maestra y otra secundaria que son percibidas por un barco en altamar) y los cometas, que describen una órbita hiperbólica, teniendo como foco al sol, saliendo de nuevo del sistema solar.

-Si bien es amplio el campo de aplicación de las curvas cónicas en las superficies de lentes oftálmicas, en este caso se optó por elegir en las lentes progresivas o multifocales, ya que cumple con varias de las propiedades de las curvas cónicas.

LENTES PROGRESIVOS O MULTIFOCALES:

Teoría de la lente progresiva:

En una lente progresiva la potencia varía por definición de una manera continua.

Cuando se trata de lentes minerales normalmente la superficie progresiva es la convexa y para las orgánicas la cóncava por razones de fabricación.

La superficie progresiva en este caso, es de tipo “umbilical” es decir que presenta a lo largo de una línea particular de su superficie la propiedad siguiente: En cada uno de los puntos de esta línea los dos radios de curvatura principales son iguales. Esto quiere decir que en cada uno de esos puntos la superficie se comporta como un elemento de superficie esférica. El valor del radio de curvatura varía si nos desplazamos a lo largo de la línea “umbilical” sin discontinuidades. Esta línea se posiciona en la lente de manera que se siga la convergencia normal de la mirada en visión binocular.

El radio R1 vertical es igual al horizontal igual que para R2 y R3.

Para comprender lo que podría ser esta superficie es suficiente imaginar un meridiano S a lo largo del cual deslizaría un círculo de radio variable cuyo centro estaría en una curva llamada “desarrollo del meridiano”. El radio de curvatura del círculo sería sucesivamente R1, R2, R3, la superficie engendrada tiene el aspecto de un trompo.

Para estudiar una superficie de este tipo es preferible referirse a ciertos puntos particulares del desarrollo del meridiano y establecer ejes a partir de los cuales sea posible determinar la ecuación del desarrollo y del meridiano.

Realización práctica:

Es conocido que entre las superficies esféricas, la superficie parabólica es la más fácil de realizar ya que un paraboloide de revolución presenta la siguiente propiedad: todas las secciones planas paralelas a su eje son parábolas de las mismas características.

Es posible pues realizar una herramienta (un molde) con forma de lámina y frotarla sobre la superficie desplazándola paralelamente al mismo tiempo que hacemos girar la lente.

En cuanto se quieren realizar superficies más complicadas elípticas, por ejemplo, hay que recurrir a otros métodos que consisten por ejemplo en hacer una rueda con el perfil del meridiano y frotar con el abrasivo el vidrio haciéndolo girar alrededor de su eje.

Las superficies progresivas no se obtienen por este método ya que estas superficies presentan como máximo un plano de simetría y no un eje de revolución.

La nueva superficie progresiva ya no usa círculos de radio variable sino cónicas evolutivas lo que permite modular la potencia no sólo de arriba abajo sino también del centro a la periferia de la lente.